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中考数学“相似三角形”分析

日期:2015/10/22 20:22:32 来源:本站原创 访问量:

  学好相似三角形不仅能让我们对图形相似有更深刻的认识,也能使我们以前学过的全等三角形的知识得以巩固和提高. 正是由于相似三角形具有很强的综合性,在历年中考中,常常对相似三角形的知识点进行考查.

  例1 (2013·佛山)如图1所示的网格中每个方格都是边长为1的正方形. 若A,B,C,D,E,F都是格点,试说明△ABC∽△DEF.

  【分析】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例,由此可以证得△ABC∽△DEF.

  解:∵在△ABC中,AC=,BC==,AB=4. 在△DEF中,DF==2,EF==2,ED=8.

  ∴===2,∴△ABC∽△DEF.

  【点评】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理. 三角形相似的判定方法有:

  (1) 平行线法:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似,这是判定三角形相似的一种基本方法,相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形;

  (2) 三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;

  (3) 两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;

  (4) 两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.

  例2 (2013·自贡)如图2,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG⊥AE于G,BG=4,则△EFC的周长为().

  A. 11 B. 10 C. 9 D. 8

  考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质,勾股定理;平行四边形的性质.

  【分析】题中有平行的条件,便可考虑根据相似三角形的周长之比等于相似比,求出△ABE的周长,便可得出△EFC的周长.

  解:∵在▱ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分线交BC于点E,

  ∴∠BAF=∠DAF.

  ∵AB∥DF,AD∥BC,

  ∴∠BAF=∠F=∠DAF,∠BAE=∠DAF=∠AEB,

  ∴AB=BE=6,AD=DF=9,

  ∴△ADF是等腰三角形,△ABE是等腰三角形.

  ∵AD=BC,AB=DC,

  ∴EC=FC=9-6=3.

  在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG=4,

  ∴AG==2,∴AE=2AG=4,

  ∴△ABE的周长等于16.

  又∵△CEF∽△BEA,相似比为1∶2,

  ∴△CEF的周长等于8,故选D.

  【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质,注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比,此题难度较大. 相似三角形的性质有:

  (1) 相似三角形的对应角相等,对应边成比例;

  (2) 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;

  (3) 相似三角形的周长比等于相似比;

  (4) 相似三角形的面积比等于相似比的平方.

  例3 (2013·株洲)已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4. 点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图3)或线段AB的延长线(如图4)于点P.

  (1) 当点P在线段AB上时,求证:△AQP∽△ABC;

  (2) 当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.

  考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.

  【分析】(1) 由两对角相等(∠APQ=∠C,∠A=∠A),易证得△AQP∽△ABC.

  (2) 当△PQB为等腰三角形时,有两种情况,需要分类讨论.

  ①当点P在线段AB上时,如题图3所示. 由三角形相似关系(△AQP∽△ABC)计算AP的长;

  ②当点P在线段AB的延长线上时,如题图4所示. 利用角之间的关系,证明点B为线段AP的中点,从而可以求出AP.

  解:(1) 证明:在△AQP与△ABC中,

  ∵∠AQP=∠ABC=90°,∠A=∠A(公共角),∴△AQP∽△ABC.

  (2) 解:设AP=x.

  ∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,

  ∴AC===5.

  由(1)知△AQP∽△ABC,

  ∴=,即=,∴PQ=x.

  ①由图3知:PB=AB-AP=3-x.

  又∵△PQB为等腰三角形,

  ∴PQ =PB,即x=3-x,∴x=;

  ②由图4知:PB=AP-AB=x-3.

  又∵△PQB为等腰三角形,

  ∴BP=BQ,∠BQP=∠P.

  ∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,

  ∴∠AQB=∠A. ∴BQ=AB,

  ∴AB=BP,AP=2×3=6.

  综上所述,AP的长为或6.

  例4 (2013·泰安)如图9,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点.

  (1) 求证:AC2=AB·AD;

  (2) 求证:CE∥AD;

  (3) 若AD=4,AB=6,求的值.

  考点:相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

  【分析】(1) 由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可证得△ADC∽△ACB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得AC2=AB·AD;

  (2) 由E为AB的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得CE=0.5AB=AE,继而可证得∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD;

  (3) 易证得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得的值.

  解:(1) 证明:∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴AD∶AC=AC∶AB,∴AC2=AB·AD;

  (2) 证明:∵E为AB的中点,∴CE=

  0.5AB=AE,∴∠EAC=∠ECA,∵∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD;

  (3) 解:∵CE∥AD,∴△AFD∽△CFE,∴AD∶CE=AF∶CF,∵CE=0.5AB,∴CE=0.5×6=3,∵AD=4,∴=,∴=.

  【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质. 此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

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