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一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．线性方程组 的解为（　A　　）

A．                                     B．

C．                                     D．

．

2．设矩阵 ，则矩阵 的伴随矩阵 （　D　　）

A．                   B．              C．                   D．

3．设 为 矩阵，若秩（ ）=4，则秩（ ）为（　C　　）

A．2                            B．3                            C．4                            D．5

4．设 分别为 和 矩阵，向量组（I）是由 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由 的列向量构成的向量组，则必有（　C　　）

A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关              B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关

C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关              D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关

（I）是（Ⅱ）的部分组，整体无关 部分无关．

5．设 为5阶方阵，若秩（ ）=3，则齐次线性方程组 的基础解系中包含的解向量的个数是（　A　　）

A．2                            B．3                            C．4                            D．5

未知量个数 ， 的秩 ，基础解系包含 个解向量．

6．设 矩阵 的秩为 ，且 是齐次线性方程组 的两个不同的解，则 的通解为（　　　）

A． ，            B． ，            C． ，     D． ，

的基础解系包含1个解向量． 是不同的解， 是非零解，可以作为基础解系，通解为 ， ．

7．对非齐次线性方程组 ，设秩（ ）=r，则（　　　）

A．r=m时，方程组 有解                      B．r=n时，方程组 有唯一解

C．m=n时，方程组 有唯一解                     D．r<n时，方程组 有无穷多解

r=m时， ， 有解       ．

8．设矩阵 ，则 的线性无关的特征向量的个数是（　C　　）

A．1                            B．2                            C．3                            D．4

特征值为 ， ， ． 对于 ， ，基础解系含1个解向量； 对于 ， ，基础解系含1个解向量； 对于 ， ，基础解系含1个解向量．

9．设向量 ，则下列向量是单位向量的是（　B　　）

A．                        B．                        C．                        D．

， ．

10．二次型 的规范形是（　D　　）

A．                  B．               C．               D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11．3阶行列式 __1__．

．

12．设 ， ，则 ．

13．设 为3阶方阵，若 ，则 __-54__．

．

14．已知向量 ， ，如果 ，则 ．

．

15．设 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组 的解为 ．

， 只有零解．

16．设非齐次线性方程组 的增广矩阵为 ，则该方程组的通解为 ．

， ，通解为 ．

17．已知3阶方阵 的特征值为 ，则 __-1__．

．

18．已知向量 与向量 正交，则 __2__．

， ， ．

19．二次型 的正惯性指数为__3__．

20．若 为正定二次型，则 的取值应满足 ．

， ； ， ， ， ， ．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式 ．

解： ．

22．设 ， ，又 ，求矩阵 ．

解：

， ，

．

23．设矩阵 ， ，求矩阵 的秩．

解： ， 可逆，而 的秩为3，所以 的秩为3．

24．求向量组 ， ， 的秩．

解： ， 的秩为2．

25．求齐次线性方程组 的一个基础解系．

解： ，

，基础解系为 ， ．

26．设矩阵 ，求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵．

解：A的特征多项式为

，

特征值为 ， ．

对于 ，解齐次方程组 ：

， ，取 ， ．

对于 ，解齐次方程组 ：

， ，取 ．

令 ，则 是可逆矩阵，使 ．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设向量组 线性无关， ， ， ，证明：向量组 线性无关．

证：设 ，即

，

，

因为 线性无关，必有 ，

，

方程组只有零解： ，所以 线性无关．